Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

Chương 4

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Trong các trường hợp hệ có số bậc tự do lớn hơn ba, đặc biệt là khi có kể đến

trọng lượng bản thân (số bậc tự do bằng vô cùng), đối với trường hợp hệ có tiết diện thay

đổi thì có thể xem như không giải được theo phương pháp chính xác như đã trình bầy ở

trên. Do đó, người ta đã nghiên cứu nhiều phương pháp tính gần đúng để giải loại bài

toán này.

Các phương pháp này dựa trên cơ sở tìm tần số dao động riêng theo phương trình

đường đàn hồi được giả định trước, hoặc thay hệ có bậc tự do lớn bằng hệ có số bậc tự do

ít hơn. Các phương pháp này cho kết quả tương đối chính xác đối với tần số cơ bản ù1, vì

trong thực tế khi tính toán các công trình người ta thường chỉ quan tâm đến tần số cơ bản

ù1 để kiểm tra điều kiện cộng hưởng. Đối với những công trình trên có đặt máy với số

vòng quay lớn thì mới cần những tần số cao hơn.

Có nhiều phương pháp tính gần đúng trong đông lực học công trình. Sau đây chúng

ta chỉ nghiên cứu một số phương pháp thường dùng.

4.1 Phương pháp năng lượng để xác định tần số dao động riêng (phương

pháp Ray-Lây)

Phương pháp Ray- Lây dựa trên cơ sở định luật bảo toàn năng lượng. Theo định

luật này, ở bất kì thời điểm nào ta cũng có:

K + U = const,

trong đó:

K - động năng của hệ ;

U - thế năng của hệ.

Giả sử dao động của hệ có dạng :

yk(z,t) = yk(z) sin (ùkt + ë).

Tại thời điểm có sin (ùkt + ë) = 0, tức là ở vị trí cân bằng thì thế năng của hệ bằng

không, vì chuyển vị yk(z,t) = 0. Nhưng lúc này động năng sẽ cực đại, vì vận tốc

∂y

∂t

Tương tự, ta suy ra tại thời điểm có sin(ùkt + ë) = 1 thì thế năng đạt cực trị (Umax)

và động năng bằng không.

Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng và xét tại 2 thời điểm trên, ta có:

Kmax + 0 = 0 + Umax; Kmax = Umax                      (4-1).

Đó là phương trình cơ bản của phương pháp năng lượng. Ta xét một hệ bất kỳ, vừa

có khối lượng phân bố m(z) vừa có các khối lượng tập trung mi (hình 4-1). Động năng

của hệ tại thời điểm t bất kỳ là:

4-1

Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

Ê = ∑∫

m(z)v 2z

2

dz + ∑

m i .v 2i

2

(4-2)

trong đó :

v z =

vi =

∂y k ( z, t )

∂t

∂y k ( z i , t )

∂t

z

m 1 m 2

⎫

⎪

⎬

⎪

m(z)dz

m i

(4-3)

Hình 4-1. Sơ đồ tính K

Sau khi thay (4-3) vào (4-2) và cho cos (ù kt + ë ) = 1 ta có:

Ê max =

ù 2

2

2                 2

k               i k  i

( 4-4)

Biểu thức thế năng của hệ khi chỉ xét tới ảnh hưởng của biến dạng uốn.

U = ∑∫

Ì 2 dz

2EJ

,

nhưng:

∂ 2kk ( z, t)

2

= −

Ì( z, t )

EJ

nên

U = ∑∫

⎢−        ⎥ dz

∂z 2

2

(4-5)

Thay

∂ 2 y k ( z, t )

∂z 2

= y k (z) sin(ù k t + ë) vào (4-5) và cho sin( ù kt + ë ) = 1 , ta có :

U max

= ∑∫

2

2

dz

(4-6)

Thay (4-4) , (4-6) vào (4-1) ta được:

ù 2

2

k               i k   i                   k

2

Từ đó ta rút ra được:

4-2

Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

2

k

2

k

y

2

(4-7)

Như vậy nếu biết trước được chính xác dạng dao động chính ứng với tần số ùk nào

đó, thì có thể xác định được tần số ùk đó một cách chính xác theo công thức (4-7).

Có thể biến đổi công thức (4-7) về dạng khác bằng cách thay biểu thức thế năng của

hệ bằng biểu thức công ngoại lực. Nếu giả thiết dạng dao động yk(z) giống như đường

đàn hồi do các trọng lượng của khối lượng gây ra thì

U max = Tmax = ∑ ∫

m( z) g. y k ( z)

2

m g.y k ( z i )

2

(4-8)

Sau khi thay (4-8), (4-4) và (4-1) ta rút ra được :

ù 2 =

∑ ∫ m( z).g. y

∑ ∫ m( z) y

k

2

k

( z)dz + ∑ mi .g.y k ( z i )

( z)dz + ∑ mi y 2 ( z i )

(4-9)

Khi sử dụng công thức (4-9) hàm số yk(z) không thể chọn bất kỳ mà phải giống như

đường đàn hồi do trọng lượng các khối lượng gây ra. Nếu không thì ít nhất cũng phải có

một tung độ của hàm số yk(z) bằng tung độ của đường đàn hồi.

4.2 Phương pháp thay thế khối lượng

Theo phương pháp này ta sẽ thay thế các khối lượng phân bố và tập trung trên kết

cấu thành các khối lượng tập trung với số lượng ít hơn đặt tại một số điểm đặc biệt. Có

thể thay thế các khối lượng phân bố theo một trong hai cách sau.

- Chia các khối lượng phân bố thành nhiều khoảng, tập trung các khối lượng phân

bố trên mỗi khoảng về trọng tâm của nó;

- Phân bố các khối lượng theo nguyên tắc đòn bẩy. Theo cách này khối lượng phân

bố trên mỗi đoạn được thay thế bằng hai khối lượng đặt ở hai đầu đoạn đó.

Thay thế khối lượng theo cách thứ hai thường cho ta một hệ mới đơn giản hơn

theo cách thứ nhất vì số lượng tập trung ít hơn. Tần số dao động của hệ mới biến đổi này

chính là tần số gần đúng của hệ thực. Mức độ chính xác của kết quả bài toán, phụ thuộc

vào khối lượng và vị trí đặt các khối lượng trong sơ đồ mới. Số khối lượng càng nhiều thì

kết quả của bài toán càng chính xác, song mức độ phức tạp càng tăng lên. Thường thường

nếu chỉ cần tìm giá trị của một, hai tần số tương đối thấp, ta có thể biến hệ đã cho thành

hệ có hai, ba bậc tự do cũng đủ thoả mãn được yêu cầu về độ chính xác cần thiết.

Trong nhiều trường hợp khi chỉ cần tìm tần số thứ nhất, ta có thể biến hệ cho trước

thành hệ có 1 bậc tự do . Kết quả tính toán cũng tương đối chính xác, nếu cách thay thế

khối lương được tiến hành hợp lý .

Sau khi chọn được sơ đồ khối lương ta có thể áp dụng các kết quả đã nghiên cứu

trong chương 2 để tính tần số dao động riêng.

4.3 Phương pháp khối lượng tương đương để xác định tần số cơ bản của

dao động riêng

Trong chương 1 ta đã có công thức xác định tần số dao động riêng của hệ 1 bậc tự

do:

4-3

Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

ù =

g

yt

=

k

m

=

1

m.ä

Đối với hệ có nhiều và vô cùng bậc tự do, nếu chỉ cần tìm tần số thứ nhất thì ta có

thể tính gần đúng bằng cách thay hệ thực bằng một hệ có 1 bậc tự do để áp dụng công

thức đơn giản trên. Vấn đề là phải xác định khối lượng thay thế M và vị trí của nó để sao

cho tần số dao động riêng của hệ thay thế bằng hoặc gần bằng tần số thứ nhất của hệ

thực. Nếu ấn định trước vị trí của khối lượng M đặt trên hệ, thì căn cứ vào điều kiện tần

số của hệ thay thế và hệ thực bằng nhau ta có thể xác định được giá trị của khối lượng M.

Lúc này khối lượng M được gọi là khối lượng thay thế tương đương. Qua kinh nghiệm

người ta thấy cần đặt khối lượng M ở vị trí có chuyển vị lớn nhất khi dao động. Nếu

ngoài khối lượng phân bố, trên hệ còn có khối lượng tập trung tương đối lớn, thì nên đặt

M ở vị trí có khối lượng tập trung.

Phương pháp khối lượng tương đương được xây dựng trên cơ sở giả thiết gần

đúng sau: “hai hệ tương đương về động năng thì cùng tương đương về tần số”. Như vậy

điều kiện để cho tần số của hệ thay thế bằng tần số của hệ thực là: động năng lớn nhất

K(b) của hệ thay thế tương đương phải bằng động năng lớn nhất K(a) của hệ thực khi dao

động.

K(a) = K(b)                                          (4-10)

Giả thiết đường đàn hồi của hệ thực (hình 4-9a) khi dao động có dạng:

y(z,t) = y(z).T(t).

Suy ra vận tốc dao động tại điểm bất kỳ có hoành độ z:

v = y( z, t ) = y( z)

dT (t )

dt

= y( z)T (t )

Do đó tổng động năng trong hệ thực là:

K (a) = ∑ ∫

m( z)dz[ y( z)T (t )]2

2

+

∑ mi [ y( z i )T (t )]2

2

Vì chuyển vị trong hệ thay thế tương đương cũng xem bằng chuyển vị trong hệ

thực tại điểm có hoành độ “a”. Nên ta có thể viết biểu thức động năng của hệ thay thế

như sau:

_

K (b) =          .

2

Thay các kết quả vừa tìm được vào biểu thức (4-10) ta rút ra được:

M

[y(a)]2

2                    2

(4-11)

Sau khi tìm được trị số khối lượng tương đương M, ta dể dàng xác định được ù1

1

Mä aa4-4

Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

Nhận xét :

- Khi dùng phương pháp này ta cũng phải chọn trước đường đàn hồi y(z) và chỉ

tính được tần số thấp nhất của hệ thực.

- Vị trí a của khối lượng M nên chọn ở điểm có chuyển vị lớn nhất do trọng lượng

bản thân của dầm thực gây ra.

- Nguyên nhân gây ra sai số về kết quả của ù1 là do phương trình y(z) chọn không

chính xác, hoặc không hợp lý. Ngoài ra cũng cần lưu ý là quan niệm “hai hệ

tương đương về động năng thì sẽ tương đương về tần số” cũng chỉ là gần đúng.

Bảng 4-1