|
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
Chương 5
DAO ĐỘNG CỦA VÒM VÀ DÀN
5.1 Dao động của vòm
5.1.1 Khái niệm về cách tính dao động của vòm
Vòm là một thanh cong có tiết diện không đổi hoặc thay đổi và có trọng lượng bản
thân khá lớn. Khối lượng bản thân của vòm phân bố trên toàn chiều dài, nên vòm là hệ có
vô số bậc tự do. Cách tính chính xác bài toán dao động của vòm rất phức tạp. Để đơn
giản ta có thể dùng phương pháp tính gần đúng bằng cách thay thế khối lượng phân bố
bằng các khối lượng tập trung hữu hạn như ta đã nói trong chương 4. Muốn vậy, ta chia
vòm thành một số đoạn như trên hình 5-1a, sau đó thay thế các khối lượng phân bố bằng
các khối lượng tập trung bố trí ở trọng tâm mỗi phần khối lượng phân bố bị thay thế (hình
5-1b), hoặc bằng các khối lượng tập trung bố trí ở ranh giới các đoạn chia theo nguyên
tắc cánh tay đòn (hình 5-1c).
Ngoài ra để cho quá trình tính toán được đơn giản hơn nữa, ta còn có thể thay trục
cong của vòm bằng một đường gãy khúc (hình 5-2). Đường gãy khúc này bao gồm các
đoạn thẳng cắt nhau tại ranh giới các đoạn đã chia (hình 5-2a,b) hoặc cắt nhau tại vị trí
các khối lượng tập trung, khi đó bố trí các khối lượng tập trung này ở trọng tâm các phần
khối lượng bị thay thế (hình 5-2c).
Như vậy, khi ta tính chuyển vị ta có thể dùng phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin mà
không phải tính tích phân theo công thức Mor. Qua những thí dụ trên ta thấy số bậc tự do
của kết cấu phụ thuộc sơ đồ khối lượng và dạng trục đã chọn. Sau khi thay đổi sơ đồ tính
như trên, ta có thể tính dao động của vòm theo bài toán dao động hệ có một số hữu hạn
bậc tự do (số bậc tự do hữu hạn ) như đã trình bày trong chương 2.
a,
n= ∞
b,
n=8
c,
n=6
Hình 5-1. Vòm có trục thay
thế dạng đường cong.
a,
n=6
b,
n=2
c,
n=3
Hình 5-2. Vòm có trục thay
thế dạng đường gãy khúc.
5.1.2 Dao động riêng của vòm .
Đối với hệ thay thế có n bậc tự do, ta sẽ xác định được n tần số dao động riêng.
Trong thực tế ta chỉ cần tìm tần số cơ bản w1, nên có thể chọn sơ đồ thay thế sao cho đơn
giản mà vẫn đạt được yêu cầu chính xác đối với kết quả w1.
5-1  
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
Như ta đã biết, vị trí của khối lượng có ảnh hưởng lớn đến độ chính xác của kết
quả, do đó cần căn cứ vào dạng dao động tương ứng với tần số cơ bản để chọn vị trí của
các khối lượng tập trung thay thế. Thí dụ đối với dầm đơn giản, khi chỉ cần tìm tần số cơ
bản w1 thì sơ đồ đơn giản nhất là sơ đồ dầm có khối lượng tập trung ở giữa nhịp như trên
hình 5-3.
Đối với vòm không khớp và vòm hai khớp, dạng dao động chính thứ nhất tương
ứng với tần số cơ bản w1 là dạng có điểm uốn ở đỉnh vòm. Do đó sơ đồ thích hợp là sơ đồ
có các khối lượng tập trung tại vị trí một phần tư nhịp hoặc một phần tư cung vòm (hình
5-4). Các khối lượng tập trung ở chân vòm không có ảnh hưởng đến dao động của vòm.
Sau khi chọn được sơ đồ thay thế ta có thể áp dụng phương trình tần số đã thiết lập ở
chương 2 để xác định các tần số dao động.
m
1 ml 1 ml
l
2 4
m s
8
ms
4
m s
4
m s
4
m s
8
l/2 l/2
Hình 5-3. Dầm đơn giản
l/2 l/2
Hình 5-4.
Sơ đồ tính
Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng các phương pháp gần đúng đã trình bày trong
chương 4, để xác định tần số cơ bản w1. Chẳng hạn nếu dùng công thức gần đúng của
Dunkerley ta có:
2
n
i=1
i
1
d
ii
+ δ ii
ng
)
. (5-1)
Trong đó:
siiđ, siing - là các chuyển vị đơn vị theo phương đứng và phương ngang của khối
lượng mi đặt trên vòm do lực thẳng đứng pd = 1 và lực nằm ngang png =1 tác dụng
tại điểm i gây ra;
n - số lượng khối lượng tập trung trên vòm.
Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một thí dụ áp dụng.
Trong trường hợp vòm thoải, khi tính tần số dao động riêng thứ nhất w1, ta có thể
coi phương chuyển vị của các khối lượng trên vòm vuông góc với trục vòm.
5.1.3 Dao động cưỡng bức.
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
a)
A
P=2sinrt(kN)
C
m
m
EJ=const
m
4 3
B
5m
Hình 5-5. Sơ đồ tính
Khi tính dao động cưỡng bức của vòm, ta cũng dùng sơ đồ khối lượng thay thế như
khi tính dao động riêng. Nhiệm vụ cơ bản ở đây là xác định các lực quán tính do lực động
gây ra. Như đã trình bày trong chương 2, hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ
các lực quán tính khi vòm chịu các lực động biến đổi dạng hàm Psinrt cũng có dạng như
hệ phương trình (2-57).
δ11Z 1 + δ12 Z 2 + ... + δ1n Z n + ∆ 1p = 0 ⎫
⎪
δ 21 Z 1 + δ *22 Z 2 + ... + δ 2n Z n + ∆ 2p = 0 ⎪
⎬
................................................... ⎪
*
trong đó
(5-2)
δ *ii = δ ii −
1
m i r 2
(5-3)
Hệ phương trình này có thể áp dụng cho kết cấu bất kỳ, nhưng cần chú ý rằng số
ẩn số không nhất thiết phải bằng số bậc tự do, mà bằng số lực quán tính (cũng tương tự
như phương trình tần số đã gặp trong thí dụ 5-2).
Nội lực động cực đại trong vòm được xác định theo biểu thức sau:
S k = S k1.Z1 + S k2 Z 2 + ... + S kn Z n + S kp
(5-4)
5.2 Dao động của vòm khi có kể đến ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu
Trong cầu vòm, đặc biệt là cầu vòm bê tông cốt thép, trọng lượng của bộ phận mặt
cầu có khi lớn hơn trọng lượng bản thân của vòm. Đối với những trường hợp này khi tính
dao động của vòm ta không thể bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu.
Giả sử xét vòm cho trên hình 5-13a. Sơ đồ tính của vòm có dạng như trên hình 5-
13b.
5-3   
δ n1 Z 1 + δ n2 Z 2 + ... + δ nn Z n + ∆ np = 0⎪⎭
|
|
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
Nếu kể thêm các khối lượng m1 của bộ phận mặt cầu thì bài toán trở nên phức tạp
hơn nhiều, vì vậy, ta có thể chuyển chúng lên trên để nhập vào các khối lượng tập trung
trên mặt cầu, vì khối lượng m2, m3, m4 của vòm nhỏ so với khối lượng của cả kết cấu
nhịp. Cách làm này phù hợp với giả thiết là bỏ qua các thành phần ngang của lực quán
tính đặt ở các khối lưọng thuộc phần vòm. Trong thực tế, vòm thường là thoải nên giả
thiết trên có thể chấp nhận được với một sai số tương đối nhỏ.
Hình 5-13. Cầu vòm
5.3 Dao động của dàn
5.3.1 Khái niệm về cách tính dao động của dàn
Khi giải quyết chính xác dao động dàn ta phải kể đến sự phân bố khối lượng trên
các thanh (số bậc tự do bằng vô cùng) và ảnh hưởng độ cứng của các mắt. Song như vậy
thì bài toán sẽ rất phức tạp. Ở đây ta nghiên cứu cách tính được gọi là “chính xác” với giả
thiết sơ đồ kết cấu đã được đơn giản hoá như sau: khối lượng phân bố của các thanh được
chia đều và được tập trung về các mắt dàn; các mắt dàn được coi là khớp lý tưởng (hình
5-20). Cách tính như vậy phù hợp với giả thiết bỏ qua hiện tượng dao động của từng
thanh quanh trục của nó. Sau khi biến đổi sơ đồ tính của dàn theo giả thiết trên, số bậc tự
do của dàn sẽ giảm xuống và trở thành hữu hạn.
H×nh 5-14. S¬ ®å tÝnh dµn
Xác định bậc tự do của dàn ta giả thiết dàn
có M mắt, tức là có m khối lượng tập trung và có Co liên kết loại một nối với đất. Mỗi
mắt dàn có hai thành phần chuyển vị (ngang và đứng) tức là có hai bậc tự do nên số bậc
tự do của toàn bộ dàn được xác định theo công thức sau:
n = 2M - Co (5-5)
5-4
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
Thí dụ đối với dàn cho trên hình 5-23 ta có:
n = 2.7 - 3 = 11.
5.3.2 Dao động riêng của dàn
Ta có thể xem dàn như hệ có số bậc tự do hữu hạn, và áp dụng phương trình tần số
đã thiết lập trong chương 2 để xác định tần số riêng. Khi thiết lập phương trình tần số ta
phải xác định các chuyển vị đơn vị dik. Trong bài toán về dàn khối lượng tính toán các
chuyển vị này đòi hỏi mất khá nhiều công sức.
Dưới đây ta hãy thiết lập hệ phương trình chính tắc của chuyển vị các khối lượng
một cách khác dưới dạng khai triển. Cách tính này không cần phải xác định các chuyển vị
đơn vị.
m i.. i
m i
i
á ik
..
m i y i
yi
x i
i'
á'ik
á ik
l ik
yk
k
Hình 5-15. Mắt i Hình 5-16. Thanh i-k
Khảo sát sự cân b
ằng động của mắt bất kỳ thứ i của dàn. Giả sử tại mắt i có u thanh
ik quy tụ (hình 5-21) và có các lực quán tính tác dụng theo phương thẳng đứng (− mi yi );
theo phương ngang (− mi xi ) . Gọi Nik là các nội lực động trong các thanh quy tụ tại mắt i.
Theo nguyên lý Đalămbe ta viết được phương trình cân bằng của mắt i (khi tách mắt i ).
Mối quan hệ giữa các nội lực Nik với chuyển vị của các thanh đó (hình 5-22).
Theo định luật Húc, ta có:
N ik =
EFik
lik
∆lik
(5-7)
trong đó :
Dlik = li’k - li; (5-8)
li’k cosai’k = lik cosaik + xk - xi;
5-5
&x&i + ∑ N ik cosá ik = 0⎪
|
|
∑ Y = −mi yi + ∑ N ik sin á ik = 0 ⎪
|
|
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
li’k sinai’k = lik sinaik + yk - yi.
Sau khi biến đổi, ta có:
(li’k)2 = lik2 + 2lik [(xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik] +(xk -xi)2 + (yk -yi)2 (5-9)
Từ (5-9) và (5-8), ta có :
lik2 + 2likDlik +Dlik2 = lik2 +2lik [(xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik]+(xk -xi)2 + (yk -
yi)2.
Nếu bỏ qua các đại lượng Dlik2 , (xk -xi)2 , (yk -yi)2 so với các đại lượng khác ta có:
Dlik = (xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik (5-10)
Thay (5-10) vào (5-7) ta có :
EFik
lik
Tiếp đó, thay (5-11) vào các phương trình cân bằng (5-6) ta được:
u
k =1
u
k =1
EFik
lik
EFik
lik
⎪
⎬
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]sin á ik = 0 ⎪
(5-12)
Để biến đổi các phương trình vi phân thành phương trình đại số, ta đặt nghiệm dưới
dạng:
xi (t ) = ai sin(ù j t + ë j )
yi (t ) = bi sin(ù j t + ë j )
Do đó:
x(t ) = −ù j 2 ai sin(ù j t + ë j ) = −ù j 2 xi
y(t ) = −ù j 2bi sin(ù j t + ë j ) = −ù j 2 yi
Thay những kết quả này vào (5-12) ta được :
2
2
u
k =1
u
k =1
EFik
lik
EFik
lik
⎪
⎬
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]sin á ik = 0 ⎪
(5-13)
Đây là các phương trình chính tắc của dao động riêng của dàn. Đối với dàn có số
bậc tự do n = 2M - Co, ta thiết lập được n phương trình chính tắc như trên. Hệ phương
trình này là thuần nhất và tuyến tính, để tồn tại các nghiệm chuyển vị xi , yi, ta có định
thức các hệ số của hệ phải bằng không:
D(wj) = 0 (5-14)
Biểu thức (5-14) chính là phương trình tần số dao động riêng của dàn. Giải
phương trình tần số ta sẽ xác định được tần số riêng wj (j = 1,2,...,n). Đối với dàn có số
mắt lớn hơn 3, việc giải định thức (5-14) sẽ rất phức tạp. Trong thực tế thường dàn có
5-6  
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]
|
|
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]cosá ik = 0⎫⎪
|
|
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]cosá ik = 0⎫⎪
|
|
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
khá nhiều mắt nên phương pháp này cũng ít được áp dụng. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu
một số phương pháp gần đúng.
5.3.3 Dao động cưỡng bức của dàn
Trong trường hợp tổng quát hệ phương trình chính tắc trong dao động cưỡng bức
của dàn chịu lực động Psinrt có dạng (xem chương 2):
ä 11Z1 + ä 12 Z 2 + ... + ä 1n Z n + ∆1 p = 0 ⎫
⎪
ä 21Z1 + ä 22 Z 2 + ... + ä 2 n Z n + ∆ 2 p = 0⎪
⎬
................................................... ⎪
ä n1Z1 + ä n 2 Z 2 + ... + ä nn Z n + ∆ np = 0 ⎪
(5-15)
Sau khi xác định các hệ số và giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được biên độ các
lực quán tính Z1, Z2, ... Zn. Tiếp đó có thể xác định được nội lực động trong các thanh dàn
theo biểu thức sau:
N i = N i1Z1 + N i 2 Z 2 + ... + N in Z n + N ip
(5-16)
trong đó:
N ij - lực dọc trong thanh bất kỳ thứ i của dàn do lực Zj =1 gây ra;
Nip- lực dọc trong thanh thứ i do biên độ của các lực kích thích tác dụng tĩnh gây
ra.
Piysinrt
N ik
m i
..
mi yi
Hình 5-17. Mắt i
Ngoài ra, ta cũng có thể viết hệ phương trình chính tắc dưới dạng khai triển tương
tự như biểu thức (5-13). Sau khi tách mắt i như trên hình 5-23, ta có thể thiết lập các
phương trình cân bằng động cho mắt đó như sau: thực hiện các biện pháp biến đổi như
trên ta được các phương trình chính tắc viết cho mắt thứ i của dàn như sau:
2
u
k =1
u
k =1
EFik
lik
EFik
lik
⎪
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]sin á ik = 0 ⎪
5-7 
− mi r 2 xi + Pix sin rt + ∑
|
|
− mi r yi + Piy sin rt + ∑
|
|
[( xk − xi ) cosá ik + ( y k − yi ) sin á ik ]cosá ik = 0⎫⎪
|
|
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
Giải hệ phương trình này ta sẽ xác định được nội lực động của thanh trong dàn.
Cần chú ý rằng trong thực tế, đối với các dàn đơn giản, ta có thể tính gần đúng bằng cách
bỏ qua chuyển vị ngang của các mắt dàn.
5.4 Cách tính gần đúng dao động riêng của dàn
Khi tính gần đúng dao động của dàn có nhiều phương pháp như: phương pháp
năng lượng, phương pháp dầm tương đương, phương pháp thay thế khối lượng v.v. song
trong phần này ta chỉ trình bầy 2 phương pháp sau:
5.4.1 Phương pháp dầm tương đương
Nội dung phương pháp: thay dàn bằng dầm và coi gần đúng là khi hai hệ này có
độ võng tương đương thì tần số dao động của chúng cũng tương đương.
Theo phương pháp này muốn tìm tần số cơ bản của dàn, trước tiên ta cần xác định
độ cứng EJ của dầm tương đương có tiết diện không đổi, trên cơ sở so sánh độ võng của
dầm và của dàn tại một điểm đặc trưng nào đó. Giả sử dàn chịu trọng lựợng bản thân
phân bố đều q như trên hình 5-28a, nếu lấy điểm k ở giữa dàn là điểm đặc trưng (điểm
dùng để so sánh độ võng ) ta có độ võng tại k của dàn được xác địng theo công thức:
ä kp = ∑
N k N p
EF
.l
(5-18)
a)
q=const
k ä kp
l/2 l/2
b)
q
f
DÇm t−¬ng ®−¬ng
Hình 5-18. PP dầm tương đương
Mặt khác, chuyển vị tại tiết diện giữa nhịp dầm tương đương do tải trọng phân bố
đều q (hình 5-28b) gây ra là;
.
384 EJ
Đối chiếu (5-18) với (5-19) ta sẽ xác định được độ cứng tương đương:
5-8   
Chương 5. Dao động của vòm và dàn
EJ =
5
384
.
∑
ql 4
_
N N p
EF
l
(5-20)
Sau khi tìm được độ cứng EJ của dầm tương đương, ta có thể xác định dao động cơ
bản ù1 theo công thức đã quen biết của dầm như sau:
π 2 EJ
l 2 m
Thay (5-20) vào (5-21) ta có:
ω1 = π 2
5g
384δ kp
, hay : ω1 = 1,13
∑
g
_
N N p
EF
l
(5-22)
Phương pháp này cho kết quả khá chính xác đối với những dàn dầm đơn giản có
biên song song. So với phương pháp năng lượng cách tính cũng đơn giản hơn nhiều, vì
không phải tìm chuyển vị tại tất cả các mắt của dàn .
5.4.2 Phương pháp thay thế khối lượng
Ngay từ khi chọn sơ đồ để tính theo phương pháp được coi là “chính xác” ở trên, ta
đã vận dụng tính chất thay thế khối lượng. Để nhằm mục đích làm đơn giản cách tính hơn
nữa ta có thể thay thế các khối lượng với số lượng ít hơn số mắt của dàn. Thường nên
chuyển khối lượng của dàn về đường biên có mặt đường xe chạy, vì khối lượng của biên
này lớn hơn.
5-9            
|
